Страница публикации

О точных решениях одной системы нелинейных уравнений эллиптического типа

Авторы: Косов А.А., Семенов Э.И., Тирских В.В.

Журнал: Современные технологии. Системный анализ. Моделирование

Том:

Номер: 2(42)

Год: 2014

Отчётный год: 2014

Издательство:

Местоположение издательства:

URL:

Проекты:

DOI:

Аннотация: Для математического моделирования плазмы применяют обычно уравнения Больцмана, Власова - Максвелла (Власова - Пуассона) и другие аналогичные уравнения и системы уравнений с частными производными. Для них требуется отыскивать аналитические решения, удовлетворяющие заданным начальным и краевым условиям, что представляет собой весьма трудноразрешимую задачу. Поэтому обычно стараются провести редукцию к более простой задаче, описываемой, например, обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). На этом пути группой французских математиков была предложена математическая модель магнитной изоляции электронов в плоском вакуумном диоде, описываемая системой двух нелинейных ОДУ второго порядка. Для этой модели ее разработчики рассматривали задачу нахождения всех ее точных решений, т. е. задачу полного интегрирования системы нелинейных ОДУ. В данной статье мы предлагаем рассматривать обобщенную математическую модель магнитной изоляции с заменой производных второго порядка многомерным оператором Лапласа, являющуюся дальнейшим развитием модели вакуумного диода, изучавшейся французскими математиками. Установлено, что решениями обобщенной модели, описываемой системой двух нелинейных уравнений эллиптического типа, могут быть только решения линейного уравнения Гельмгольца. Доказано, что при определенных условиях (указанных явно), верно и обратное утверждение. Предложен способ конструирования частных точных решений обобщенной модели из известных решений линейного уравнения Гельмгольца. Для обобщенной математической модели рассмотрен целый ряд примеров задания плотности тока, для которых найдены параметрические семейства точных решений, заданных элементарными функциями. В том числе указаны примеры глобальных решений, которые определены на всем пространстве. Полученные в статье явные аналитические выражения точных решений могут иметь не только теоретическое, но и прикладное значение, поскольку их можно использовать для тестирования, отладки и адаптации численных методов и алгоритмов построения приближенных решений краевых задач для обобщенной модели магнитной изоляции.

Индексируется WOS: Нет

Индексируется Scopus: Нет

Индексируется УБС: Нет

Индексируется РИНЦ: Да

Индексируется ВАК: Нет

Индексируется CORE: Нет

Публикация в печати: 0